Отбор корней на тригонометрической окружности
Тренажёр «Отбор корней на тригонометрической окружности» — задание 13 профильного ЕГЭ по математике
Онлайн-тренажёр помогает разобраться, как отбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке с помощью единичной окружности. Ученик сам отмечает углы и промежутки нажатием на окружность, выбирает числа серии и получает подробную проверку каждого шага — как на уроке, только в любое время.
Что внутри
- Углы на окружности — положительные и отрицательные углы, четверти, полные обороты.
- Промежутки и обороты — границы, квадратные и круглые скобки, промежутки длиной в несколько оборотов.
- Серии корней — что означает запись x = a + 2πk, k ∈ ℤ и куда попадают точки при разных k.
- Отбор по промежутку — какие числа серии принадлежат отрезку или промежутку.
- Отбор с учётом ОДЗ — почему кандидат, обращающий знаменатель в ноль, не становится корнем.
- Полные уравнения с отбором — от общего решения до ответа.
Кроме обучения по блокам есть бесконечная тренировка, задания «Точки по значению» (например, найти все точки, где cos x = −√3/2), проверочный тест из шести заданий, свободная окружность и работа над ошибками.
Как отбирать корни на окружности
- Реши уравнение и запиши общее решение — одну или несколько серий корней.
- Отметь на окружности промежуток: от меньшей границы к большей, против часовой стрелки. Если промежуток длиннее 2π, он делает несколько оборотов.
- Отметь точки серий и выпиши все числа, которые попадают в промежуток. Проверь скобки: квадратная включает границу, круглая — нет.
- Если в уравнении есть знаменатель или тангенс, вычеркни числа, которые нарушают ОДЗ.
Пример. Найдём корни уравнения sin x = 1/2, принадлежащие отрезку [−2π; 2π]. Общее решение: x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ. Отрезок длиной 4π — это два оборота. На нём лежат числа −11π/6, −7π/6, π/6 и 5π/6.
Частые вопросы
Почему π/6 и 13π/6 — разные корни, если точка одна?
На окружности это одна точка, но числа отличаются на полный оборот 2π. Если оба числа принадлежат промежутку, в ответ записывают оба.
Чем отбор на окружности отличается от отбора через неравенство?
Через двойное неравенство находят подходящие целые k для каждой серии. Окружность даёт то же самое наглядно: видно, какие точки попадают в промежуток и сколько раз он обходит окружность. В тренажёре можно освоить оба способа.
Что делать с ОДЗ при отборе корней?
Сначала запиши ограничения исходного уравнения: знаменатель не равен нулю, тангенс определён. Затем из найденных кандидатов вычеркни те, что нарушают ограничения. Если вычеркнуты все — у уравнения нет корней на промежутке.
Сохраняется ли прогресс?
Да, прогресс сохраняется в браузере автоматически. Если войти в личный кабинет, можно продолжать с любого устройства.